▷ Sistema binario, decimale, ottale ed esadecimale di cosa si tratta e come funziona

Se sei uno studente di informatica, elettronica o qualsiasi ramo dell'ingegneria, una delle cose che dovresti sapere è eseguire conversioni del sistema di numerazione. Nell'informatica, i sistemi di numerazione utilizzati sono diversi da ciò che sappiamo tradizionalmente, così come il nostro sistema decimale. Questo è il motivo per cui, molto probabilmente, se ci dedichiamo al campo della tecnologia, sia informatica, che di programmazione e simili, dovremo conoscere i sistemi più utilizzati e sapere come convertire da un sistema a un altro.

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Come eseguire conversioni del sistema di numerazione

È particolarmente utile conoscere il sistema di conversione da decimale a binario e viceversa, poiché è il sistema di numerazione con cui lavorano direttamente i componenti di un computer. Ma è anche molto utile conoscere il sistema esadecimale, poiché viene utilizzato ad esempio per rappresentare i codici colore, le chiavi e un gran numero di codici del nostro team.

Sistemi di numerazione

Un sistema di numerazione consiste nella rappresentazione di un insieme di simboli e regole che ci consentono di costruire i numeri validi. In altre parole, consiste nell'utilizzare una serie di simboli limitati con i quali sarà possibile formare altri valori numerici senza alcun limite.

Senza andare troppo oltre i termini matematici delle definizioni, i sistemi più utilizzati da umani e macchine saranno i seguenti:

Sistema decimale

È un sistema di numerazione posizionale in cui le quantità sono rappresentate dalla base aritmetica del numero dieci.

Dato che la base è il numero dieci, avremo la possibilità di costruire tutte le figure usando dieci numeri che sono quelli che tutti conosciamo. 0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Questi numeri saranno usati per rappresentare la posizione dei poteri di 10 nella formazione di qualsiasi numero.

Quindi, potremmo rappresentare un numero nel modo seguente in questo sistema di numerazione:

Vediamo che un numero decimale è la somma di ciascun valore dalla base 10 elevata alla posizione-1 che occupa ogni termine. Lo terremo presente per le conversioni in altri sistemi di numerazione.

Sistema binario

Il sistema binario è un sistema di numerazione in cui viene utilizzata la base aritmetica 2. Questo sistema è quello utilizzato internamente da computer e sistemi digitali per eseguire assolutamente tutti i processi.

Questo sistema di numerazione è rappresentato solo da due cifre, 0 e 1, motivo per cui si basa su 2 (due cifre) e con esso verranno costruite tutte le catene di valori.

Sistema ottale

Come per le spiegazioni precedenti, possiamo già immaginare di cosa si tratta sul sistema ottale. Il sistema ottale è il sistema di numerazione in cui viene utilizzata la base aritmetica 8, ovvero avremo 8 cifre diverse per rappresentare tutti i numeri. Questi saranno: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

Sistema esadecimale

Seguendo le definizioni precedenti, il sistema di numerazione decimale è un sistema di numerazione posizionale basato sul numero 16. A questo punto ci chiederemo come ottenere 16 numeri diversi, se per esempio 10 è la combinazione di due numeri diverso?

Bene, molto semplice, li abbiamo inventati, non noi, ma quelli che hanno inventato il sistema in questione. I numeri che avremo qui saranno: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. questo fa un totale di 16 termini diversi. Se hai mai impostato il codice numerico di un colore ha questo tipo di numerazione, ed è per questo che vedrai come il bianco, ad esempio, è rappresentato come valore FFFFFF. Vedremo in seguito cosa significa.

Conversione tra sistema binario e decimale

Poiché è il più semplice e di facile comprensione, inizieremo convertendo tra questi due sistemi di numerazione.

Converti il ​​numero da binario a decimale

Come abbiamo visto nella prima sezione, rappresentiamo un numero decimale come la somma dei valori moltiplicati per la potenza di 10 per la posizione-1 che occupa. Se lo applichiamo a qualsiasi numero binario, con la sua base corrispondente, avremo quanto segue:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	1 · 2 0

Ma ovviamente, se eseguissimo la procedura come nel sistema decimale, otterremmo valori diversi da 0 e 1, che sono quelli che possiamo rappresentare solo in questo sistema di numerazione.

Ma proprio questo sarà molto utile per eseguire la conversione nel sistema decimale. Calcoliamo il risultato di ciascun valore nella sua casella:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

Bene, se facciamo la somma di questi valori risultanti da ogni cella, otterremo il valore decimale equivalente del valore binario.

Il valore decimale di 100110 è 38

Abbiamo solo dovuto moltiplicare la cifra (0 o 1) per la sua base (2) elevata alla posizione-1 che occupa nella figura. Aggiungiamo i valori e avremo il numero in decimale.

Se non sei stato convinto, eseguiremo ora il processo opposto:

Converti il ​​numero decimale in binario

Se prima abbiamo fatto una moltiplicazione dei numeri e una somma per determinare il valore decimale, ora ciò che dovremo fare è dividere il numero decimale per la base del sistema in cui vogliamo convertirlo, in questo caso 2.

Eseguiremo questa procedura fino a quando non sarà più possibile effettuare ulteriori divisioni. Vediamo l'esempio di come sarebbe fatto.

numero	38	19	9	4	2	1
divisione	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
riposare	0	1	1	0	0	1

Questo è il risultato di rendere le divisioni successive al minimo. Potresti aver già capito come funziona. Se ora prendiamo i resti di ogni divisione e ne invertiamo la posizione, otterremo il valore binario del numero decimale. Cioè, iniziato da dove abbiamo terminato la divisione all'indietro:

Quindi abbiamo il seguente risultato: 100110

Come possiamo vedere, siamo riusciti ad avere esattamente lo stesso numero all'inizio della sezione.

Conversione del numero decimale frazionario in binario

Come ben sappiamo, non ci sono solo numeri decimali interi, ma possiamo anche trovare numeri reali (frazioni). E come sistema di numerazione, dovrebbe essere possibile convertire un numero dal sistema decimale al sistema binario. Vediamo come farlo. Prendiamo il numero 38.375 come esempio

Quello che dobbiamo fare è separare ciascuna delle parti. Sappiamo già come calcolare la parte intera, quindi andremo direttamente alla parte decimale.

La procedura sarà la seguente: dobbiamo prendere la parte decimale e moltiplicarla per la base del sistema, cioè 2. Il risultato della moltiplicazione dobbiamo moltiplicarlo di nuovo fino a ottenere una parte frazionaria di 0. Se durante la moltiplicazione appare un numero di fazione con una parte intera, dovremo prendere solo la frazione per la moltiplicazione successiva. Diamo un'occhiata all'esempio per capirlo meglio.

numero	0, 375	0.75	0.50
moltiplicazione	* 2 = 0, 75	* 2 = 1, 50	* 2 = 1.00
Parte intera	0	1	1

Come possiamo vedere, stiamo prendendo la parte decimale e la moltipliciamo di nuovo fino a raggiungere 1.00 dove il risultato sarà sempre 0.

Il risultato di 38.375 in binario sarà quindi 100 110.011

Ma cosa succede quando non possiamo mai raggiungere un risultato di 1.00 nel processo? Vediamo l'esempio con 38, 45

numero	0.45	0.90	0, 80	0.60	0.20	0.40	0, 80
moltiplicazione	* 2 = 0.90	* 2 = 1, 80	* 2 = 1, 60	* 2 = 1, 20	* 2 = 0.40	* 2 = 0.80	* 2 = 1, 60
Parte intera	0	1	1	1	0	0	1

Come possiamo vedere , da 0, 80 il processo diventa periodico, cioè non finiremo mai la procedura perché compariranno sempre i numeri da 0, 8 a 0, 4. Quindi il nostro risultato sarà un'approssimazione del numero decimale, più andremo avanti, maggiore accuratezza otterremo.

Quindi: 38, 45 = 100 110, 01110011001 1001…

Vediamo come eseguire il processo inverso

Conversione del numero binario frazionario in decimale

Questo processo verrà eseguito allo stesso modo del normale cambio di base, tranne che dalla virgola i poteri saranno negativi. Prendiamo solo la parte intera del precedente numero binario:

0	1	1	1	0	0	1	...
0 · 2 -1 = 0	1 · 2 -2 = 0, 25	1 · 2 -3 = 0.125	1 · 2 -4 = 0, 0625	1 · 2 -5 = 0	1 · 2 -6 = 0	1 · 2 -7 = 0, 0078125	…

Se aggiungiamo i risultati otterremo:

0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 0078125 = 0, 4453

Se continuassimo a svolgere operazioni ci avvicineremmo sempre più al valore esatto di 38, 45

Conversione tra sistema ottale e sistema binario

Ora procederemo a vedere come eseguire la conversione tra due sistemi che non sono i decimali, per questo prenderemo il sistema ottale e il sistema binario e eseguiremo la stessa procedura delle sezioni precedenti.

Convertire il numero da binario a ottale

La conversione tra i due sistemi di numerazione è molto semplice perché la base del sistema ottale è la stessa del sistema binario ma elevata alla potenza di 3, 2 ³ = 8. Quindi, basandoci su questo, ciò che faremo è raggruppare i termini binari in gruppi di tre a partire da destra a sinistra e convertirli direttamente in un numero decimale. Vediamo l'esempio con il numero 100110:

1	0	0	1	1	0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

Raggruppiamo ogni tre cifre ed eseguiamo la conversione in decimale. Il risultato finale sarà che 100110 = 46

E se non avessimo gruppi perfetti di 3? Ad esempio 1001101, abbiamo due gruppi di 3 e uno di 1, vediamo come procedere:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

Seguendo la procedura, prendiamo i gruppi dalla destra del termine e quando raggiungiamo la fine riempiamo con tutti gli zeri necessari. In questo caso, ne abbiamo necessari due per completare l'ultimo gruppo. Quindi 1001101 = 115

Convertire il numero ottale in binario

Bene, la procedura è semplice come fare il contrario, cioè passare da binario a decimale in gruppi di 3. Vediamolo con il numero 115

valore	1	1	5
divisione	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
riposare	1	0	0	1	0	0	1	0	1
gruppo	001	001	101

In questo modo vediamo che 115 = 001001101 o che è lo stesso 115 = 1001101

Conversione tra sistema ottale e sistema decimale

Ora vedremo come eseguire la procedura per passare dal sistema numerico ottale al decimale e viceversa. Vedremo che la procedura è esattamente la stessa del caso del sistema decimale e binario, solo che dobbiamo cambiare la base in 8 anziché 2.

Eseguiremo le procedure direttamente con termini con una parte frazionaria.

Convertire il numero decimale in ottale

Seguendo la procedura del metodo decimale-binario lo eseguiremo con l'esempio di 238.32:

Parte intera. Dividiamo per la base, che è 8:

numero	238	29	3
divisione	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
riposare	6	5	3

Parte decimale, moltipliciamo per la base, che è 8:

numero	0, 32	0, 56	0, 48	0, 84	0, 72	…
moltiplicazione	* 8 = 2, 56	* 8 = 4, 48	* 8 = 3.84	* 8 = 6.72	* 8 = 5, 76	…
Parte intera	2	4	3	6	5	…

Il risultato ottenuto è il seguente: 238.32 = 356.24365…

Convertire il numero ottale in decimale

Bene, allora facciamo il processo opposto. Passiamo il numero ottale 356, 243 al decimale:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 1 = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8 -1 = 0, 25	4 · 8 -2 = 0, 0625	3 · 8 -3 = 0, 005893

Il risultato è: 192 + 40 + 6, 0, 25 + 0, 0625 + 0, 005893 = 238, 318

Conversione tra sistema esadecimale e sistema decimale

Terminiamo quindi con il processo di conversione tra il sistema di numerazione esadecimale e il sistema decimale.

Convertire il numero decimale in esadecimale

Seguendo la procedura del metodo decimale-binario e decimale-ottale, lo eseguiremo con l'esempio di 238.32:

Parte intera. Dividiamo per la base, che è 16:

numero	238	14
divisione	÷ 16 = 14	-
riposare	E	E

Parte decimale, moltiplichiamo per la base, che è 16:

numero	0, 32	0, 12	0, 92	0, 72	0, 52	…
moltiplicazione	* 16 = 5.12	* 16 = 1, 92	* 16 = 14.72	* 16 = 11, 52	* 16 = 8.32	…
Parte intera	5	1	E	B	8	…

Il risultato ottenuto è il seguente: 238.32 = EE, 51EB8…

Convertire il numero da esadecimale a decimale

Bene, allora facciamo il processo opposto. Passiamo il numero esadecimale EE, 51E al decimale:

E	E	,	5	1	E
E16 1 = 224	E · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0, 3125	1 · 16 -2 = 0, 003906	E16 -3 = 0, 00341

Il risultato è: 224 + 14, 0, 3125 + 0, 003906 + 0, 00341 = 238, 3198…

Bene, questi sono i modi principali per cambiare la base da un sistema di numerazione a un altro. Il sistema è applicabile a un sistema in qualsiasi base e al sistema decimale, sebbene questi siano i più utilizzati nel campo dell'informatica.

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